>Grenseverdier>Kontinuitet for funksjoner

Kontinuitet for funksjoner

Kontinuitet er en egenskap ved en funksjon. Når du snakker om kontinuitet beskriver du hvorvidt grafen til en funksjon eksisterer for alle verdier av $x$ på et intervall, og at disse punktene ligger inntil hverandre.

At en graf er kontinuerlig betyr at du kan tegne den uten å løfte blyanten. Det finnes grafer som er slik at $y$ -verdien til en gitt $x$ -verdi ligger et stykke unna $y$ -verdien til en tilstøtende $x$ -verdi. Disse grafene er ikke kontinuerlige. Grafer som ikke er definert for alle $x$ -verdier på et intervall er heller ikke kontinuerlige på det intervallet. Her ser du tegninger av de ulike tilfellene:

En kontinuerlig funksjon og to diskontinuerlige funksjoner av litt forskjellig karakter

Teori

Kontinuitet

Når $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ er $f$ kontinuerlig for $x = a$ .
Når $\lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$ , er $f$ diskontinuerlig for $x = a$ .

Når grafen er sammenhengende for alle

x

i et intervall, er

f (x)

kontinuerlig på intervallet.

Eksempel 1

Avgjør om funksjonen $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1}$ er kontinuerlig for $x = 1$

\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} & = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{2}{1}}{\frac{1}{1} - \frac{1}{1^{2}}} \\ = \frac{1 - 2}{1 - 1} \\ = ikke definert \end{array}

Du ser at

f (x)

er diskontinuerlig siden du har fått et ugyldig uttrykk ved utregning av grenseverdien.

Eksempel 2

Avgjør om funksjonen $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 3}$ er kontinuerlig for $x = - 2$

\begin{array}{l} \lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 3} & = \frac{{(- 2)}^{2} - 2 (- 2) + 2}{- 2 + 3} \\ = \frac{4 + 4 + 2}{1} \\ = 10 \end{array}

Du ser at

f (x)

er kontinuerlig siden du har fått en tallverdi som svar når du regnet ut grenseverdien.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Grenseverdier for funksjoner

Neste oppslag

Asymptoter

Tilbake